Heisenberg group 的中心

\[C(H^3)=\{a | ab=ba,\ \forall b\in H^3\}\]

$H^3$ 中的元素形如

\[\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\]

其中 $a,b,c\in\mathbb{R}$.

$\mathbb{H}^3$ 模去它的中心得到商群 $\mathbb{H}^3/C(\mathbb{H}^3)$, 从而定义了 $\mathbb{H}^3$ 在底空间 $\mathbb{H}^3/C(\mathbb{H}^3)\cong\mathbb{R}^2$ 上的一个Riemannian fibration (参见\cite[Chapter 1]{Ber-Gau-Maz}). 子丛 $E$ 从而由该 fibration 的水平子丛所构成, 其与 1-形式 $dz-xdy$ 的核一致.

References

http://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_group

@book{Ber-Gau-Maz,
AUTHOR = "M.~Berger, P.~Gauduchon, E.~Mazet",
TITLE = "Le Spectre d\'une Vari\\'{e}t\\'{e} Riemannienne",
PUBLISHER = "Springer",
YEAR = "1971",
volume = "194",
series = "Lecture Notes",
address = "",
edition = "",
month = "",
note = ""
}